2005年12月13日

【回答207】都市計画と最短道路

問題編は一息ついたときの小ネタ【問題207】を参照ください。

【回答207】
ぱっと見、4つの町を十字で(×の形で)結ぶのが最も最短のように見えますが、実はもっと最短で結ぶことができます。下の図がそれで、中央の交点(三叉路)の角度は全て120度です。

回答207

タイゾー町・コイズミ町間の距離を1とすると、十字で結ぶ場合の全体の道路の距離は、正方形の対角線2本なので2√2(約2.828)です。この形の方は、ちょっと計算してみると、1+√3(約2.732)となり、少しだけこっちの方が短くなります。

この図形、ハイパーX(エックス)と呼ばれているそうで、元々は数学者のシュタイナーという人が考えたことからシュタイナーのネットワークというらしいです。(このあたり聞きかじりです)

パズル的には、これを応用してこんな感じの問題もあったりします。


【問題】
紙でできたサイコロを平面図に展開するとき、切る長さを最も短くするにはどのように切ればいいですか。


上の話を知っていれば簡単です。ただ実際の正解の展開図を見てみると、本当にこれがサイコロになるのかちょっと不思議な感じの形(「のりしろ」だらけという感じ)になりますので、ご興味ある方は是非実際にどうぞ。


と、ここで、ドイツの数学者シュタイナーもびっくりの、上記の回答よりもっと短い道路で済む回答を見つけてしまいました。
と、思い込んでしまいましたが、実は似た問題の別回答でした。(私の和訳ミスです)
計算自体も間違えていて、いや、もう恥しい限りです。仕事中ずっとぼやいてました。(コメントされた方、おっしゃるとおりです)


どうせなので、その問題も紹介します。

【問題】
正方形のどこから光線が入ってもその光線をさえぎるような線(ついたて)を正方形内部に描くとき、最もその線が短くなるようにするにはどのように描いたらよいか

というもので、例示として×印とハイパーXが表示され、更に現在知られているものでもっと短く描く方法がある、と続きます。(これを私が早合点したのでした)


その回答が下の図です。(上はハイパーXです)交点から伸びる3線が交わる角度は全て120度です。

kaitou207saisyuu.JPG

確かにこれだと正方形を貫通する光線(線)はありません。どこかで引かれた線にぶつかります。この場合の追加された線の長さは、√2+√2×√3/2で、約2.639となります。

いやそれにしてもすいませんでした。

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posted by fakerholic at 01:13| Comment(4) | TrackBack(0) | 頭の体操クイズネタ回答集 | このブログの読者になる | 更新情報をチェックする
この記事へのコメント
計算はよくわかりませんが、総延長距離は、どう見たって、ただのバッテンの方が短いと思いますが?
Posted by 匿名でごめんなさい at 2006年01月24日 08:56
私も、新しい回答よりもバッテンのほうが短く感じます。
だだ、計算が苦手で・・・
Posted by 太郎 at 2006年01月25日 17:05
正方形の左下を光が貫通してしまうのでは?
長さも回答の図だと√2/2+√2×2/√3になると思います。
Posted by 匿名リサーチ200X at 2006年01月27日 01:36
計算してみましたが、両方とも管理人さんの計算であってますよ。
見た目は長く感じてしまう、というのがこのパズルのおもしろいところですね。
Posted by 二郎 at 2006年06月18日 14:41
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